2026年考研数学（一）考试试题 - 第18题回答

好的，我们先一步步分析学生的作答与标准答案的差异，并按照要求进行评分。 --- ## **题目信息回顾** 已知 \[ dF(x,y) = \frac{f(xy)}{x^2 y} \, dx + \frac{f''(xy)}{x y^2} \, dy, \quad xy>0 \] (1) 证明： \[ \frac{f''(u)}{u} - \frac{f(u)}{u} = C \] (2) 若 \( f(1)=1, f'(1)=-1, f''(1)=0 \)（注意：学生给的初始条件与题目不一致），求 \( f(u) \)。 --- ## **第 (1) 问分析** 学生做法： 记 \( P = \frac{f(xy)}{x^2 y} \)，\( Q = \frac{f''(xy)}{x y^2} \)（这里学生写的是 \( Q = \frac{f'(xy)}{x y^2} \)？看他的识别结果，第一次写 \( Q \) 时用了 \( f' \)，但后面推导时又用了 \( f'' \)，可能是识别错误，但推导过程里实际用了 \( f'' \) 与 \( f \) 的关系）。 由恰当微分条件： \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \] 计算： \[ P = \frac{f(u)}{x^2 y}, \quad u = xy \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{x f'(u) \cdot x^2 y - f(u) \cdot x^2}{x^4 y^2} \] 更仔细地算： \( P = f(u) \cdot \frac{1}{x^2 y} \)， \[ \frac{\partial P}{\partial y} = f'(u) \cdot x \cdot \frac{1}{x^2 y} + f(u) \cdot \left( -\frac{1}{x^2 y^2} \right) \] \[ = \frac{f'(u)}{x y} - \frac{f(u)}{x^2 y^2} \] \[ = \frac{x y f'(u) - f(u)}{x^2 y^2} \cdot \frac{...

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