评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生通过初等行变换将矩阵化为行最简形，得到秩为2，并指出 \(\alpha_1, \alpha_2\) 线性无关，从而说明它们是极大线性无关组。思路正确，计算无误。但题目要求“证明”，学生仅展示了计算过程，未明确写出“秩为2且 \(\alpha_1, \alpha_2\) 线性无关”的结论，表述稍欠完整。扣1分。

得分：5分

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确得到 \(\alpha_3 = \alpha_2 - \alpha_1\)，\(\alpha_4 = \alpha_1 - \alpha_2\)，并写出 \(H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\)，这部分正确。

计算 \(A^{10}\) 时，学生思路正确，利用 \(A = GH\) 和幂次公式 \(A^n = G(HG)^{n-1}H\)（或类似分解），并正确计算了 \(HG = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)。

但在计算 \((HG)^{10}\) 时出现错误：学生写 \((HG)^b = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)，这显然不对（应为 \(\begin{pmatrix} 1 & -10 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) 或类似，且指数标记混乱）。最终给出的 \(A^{10}\) 矩阵部分元素为分数，与标准答案整数矩阵不符，且矩阵为3行4列，与题目4×4矩阵维度不符，说明计算过程存在严重错误。

由于核心思路正确但计算错误，且结果矩阵维度错误，扣4分。

得分：2分

题目总分：5+2=7分