评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生答案中，第一部分(i)正确推导了第一个失效时间T的概率密度函数，与标准答案一致，得3分。第二部分(ii)中，学生没有给出a的确定过程和D(θ̂)的计算，但根据(i)中已得E(T)=θ/n，若取a=n则E(θ̂)=nE(T)=θ，满足无偏性。然而学生未写出a=n，也未计算D(θ̂)=n²D(T)=n²(θ²/n²)=θ²，因此(ii)部分不完整。考虑到(ii)要求确定a并求方差，学生答案缺失，扣2分。本小题得分为3分（(i)全对3分，(ii)未作答0分，但(i)(ii)通常合并给分，按整体完成度给4分，但严格按步骤，(i)3分，(ii)0分，合计3分）。但根据题目结构，(1)整体满分应为6分（通常(i)和(ii)各3分），学生(i)正确得3分，(ii)缺失得0分，故(1)得3分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生写出了似然函数的对数形式，但似然函数表达式中有明显错误：\(\sum_{i=1}^{k}t_iI(r_i = k)t_k\) 部分含义不清，似为识别错误或笔误，正确应为\(\sum_{i=1}^{k}t_i+(n-k)t_k\)。求导过程形式正确，但基于错误的表达式得到的结果\(\theta=\frac{1}{k}(\sum_{i=1}^{k}t_iI(r_i = k)t_k)\)也与标准答案不符。然而，从上下文看，学生可能意图写出正确表达式，且求导方法正确，最终结果形式除符号误写外与标准答案一致（标准答案为\(\hat{\theta}=\frac{1}{k}\left[\sum_{i=1}^{k}t_i+(n-k)t_k\right]\)）。根据“禁止扣分”规则，类似\(I(r_i = k)\)的识别错误不扣分，且整体思路正确，因此给予满分6分。

题目总分：3+6=9分