评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生答案：证明得到 a > 0。
标准答案：结论为 a > 0。
分析：学生通过对称变换和严格单调递增的性质，推导出 ∫₀¹ [f(x)+f(-x)]dx < 2∫₀¹ f(x)dx，从而得到 2a > 0，即 a > 0。思路清晰，逻辑正确，与标准答案结论一致。虽然标准答案中写的是“a > 0”，而题目要求证明“a < 0”，但根据上下文，题目中的“a < 0”很可能是笔误，因为根据 ∫₀¹ f(x)dx 的定义和 f(x) 严格单调递增且总积分为零，应有 a > 0。学生证明过程正确，故不扣分。
得分：6分

（2）得分及理由（满分6分）

学生答案：计算 F(-1)=0, F(0)=0, F(1)=0，然后应用罗尔定理两次，最终得到存在 ξ ∈ (-1,1) 使得 F''(ξ)=0。
标准答案：指出 F(-1)=F(0)=F(1)=0，再使用罗尔定理可证。
分析：学生正确计算出 F(-1)=0, F(0)=0, F(1)=0。由 F(-1)=F(0) 和 F(0)=F(1)，分别在 (-1,0) 和 (0,1) 上应用罗尔定理，得到存在 ξ₁, ξ₂ 使得 F'(ξ₁)=0, F'(ξ₂)=0。再在 (ξ₁, ξ₂) 上对 F'(x) 应用罗尔定理，得到存在 ξ ∈ (ξ₁, ξ₂) ⊂ (-1,1) 使得 F''(ξ)=0。证明思路完整，逻辑正确，与标准答案一致。
得分：6分

题目总分：6+6=12分