评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生答案中：

• 对于(1)(i)，正确推导了第一个失效时间 \(T\) 的分布，得到了概率密度函数 \(f_T(t) = \frac{n}{\theta} e^{-\frac{n}{\theta}t}, t>0\)，与标准答案一致。推导过程虽有跳步（如从 \(F(t)=1-e^{-\frac{n}{\theta}t}\) 求导得密度），但核心逻辑正确。得3分。
• 对于(1)(ii)，学生未直接给出 \(a=n\) 以及 \(D(\hat{\theta})=\theta^2\) 的完整结果。但在推导中写了 \(E(t)=\frac{\theta}{n}\)（应指 \(E(T)=\frac{\theta}{n}\)），若令 \(\hat{\theta}=aT\)，则 \(E(\hat{\theta})=a\cdot\frac{\theta}{n}\)，令其等于 \(\theta\) 可得 \(a=n\)，此步隐含但未明确写出。对于方差，学生写了 \(D(\theta)=n^2D(T)=\theta^2\)，这里符号有混淆（应为 \(D(\hat{\theta})=n^2D(T)\)），且 \(D(T)=\frac{\theta^2}{n^2}\)，故 \(D(\hat{\theta})=\theta^2\)，结果正确但表述不严谨。考虑到核心计算和结果正确，但过程不完整且符号有误，扣1分。得2分。
• 本小题总分：3+2=5分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生答案中：

• 正确写出对数似然函数 \(\ln L(\theta) = -k\ln\theta - \frac{1}{\theta}\left[\sum_{i=1}^{k}t_i+(n-k)t_k\right]\)。
• 正确求导并令导数为零：\(\frac{d}{d\theta}\ln L(\theta)=-\frac{k}{\theta}+\frac{1}{\theta^2}\left(\sum_{i=1}^{k}t_i+(n-k)t_k\right)=0\)。
• 正确解出 \(\theta = \frac{1}{k}\left[\sum_{i=1}^{k}t_i+(n-k)t_k\right]\)，并指出其为最大似然估计 \(\hat{\theta}\)。
• 推导过...