评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，第一步设 \(P(x,y)=\frac{f(xy)}{x^{2}y^{2}}\) 和 \(Q(x,y)=\frac{f^{\prime}(xy)}{xy^{2}}\) 与题目给定的微分形式 \(dF(x,y)=\frac{f(xy)}{x^{2}y}dx+\frac{f''(xy)}{xy^{2}}dy\) 不一致：学生将 \(P\) 的分母误写为 \(x^{2}y^{2}\)（应为 \(x^{2}y\)），且将 \(Q\) 的分子误写为 \(f'(xy)\)（应为 \(f''(xy)\)）。这导致后续推导中 \(\frac{\partial P}{\partial y}\) 和 \(\frac{\partial Q}{\partial x}\) 的计算全部错误，因此无法正确得到 \(\frac{f''(u)}{u}-\frac{f(u)}{u}=C\) 的结论。虽然学生后续尝试利用全微分条件 \(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\) 进行推导，思路方向正确，但由于初始设定错误，整个推导无效。鉴于核心逻辑错误，本小题得0分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生在第(2)问中，基于第(1)问的错误结论 \(f'(u)-f(u)=Cu\) 进行求解。虽然求解常微分方程的过程（齐次通解、设特解、代入初始条件）方法正确，但初始条件的使用存在混淆：题目给出 \(f(1)=1\)，但学生同时写了 \(f(1)=-1\)（可能是识别错误，但按上下文应为 \(f'(1)=-1\)），且 \(f''(1)=0\) 在推导中未使用。最终得到的表达式 \(f(u)=-e^{u-1}+e^{1-u}+u\) 与标准答案 \(f(u)=-e^{-1}+e^{1+u}+u\) 不一致。由于本问的解答依赖于第(1)问的错误结论，且最终答案错误，但考虑到求解微分方程的过程基本正确，给予部分分数。本小题得2分。

题目总分：0+2=2分