评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生通过初等行变换将矩阵化为行最简形，得出秩为2，并指出α₁、α₂线性无关（因为行最简形的前两列是主元列），从而证明它们是极大线性无关组。思路正确，计算无误。但标准答案中未展示具体行变换过程，只给出结论，而学生展示了完整过程，这并不扣分。因此该部分得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确表达了α₃、α₄由α₁、α₂线性表示的关系，并正确写出H矩阵（与标准答案一致）。在计算A¹⁰时，学生利用了A=GH，进而A¹⁰=G(HG)⁹H，思路正确。计算HG得到\(\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\)正确，计算(HG)⁹时利用矩阵的二项式展开（因为该矩阵是单位矩阵加上幂零矩阵），得到\(\begin{pmatrix}1 & -9\\ 0 & 1\end{pmatrix}\)正确。但在最后一步计算A¹⁰=G(HG)⁹H时，学生给出的结果矩阵第四行第二列为-1，而标准答案为7。检查学生计算过程：G矩阵为(α₁, α₂)，即 \[ G = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & -1\\ -1 & 0\\ -1 & -2\end{pmatrix} \] 计算G(HG)⁹： \[ \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & -1\\ -1 & 0\\ -1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -9\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -8\\ 0 & -1\\ -1 & 9\\ -1 & 7\end{pmatrix} \] 再右乘H： \[ \begin{pmatrix}1 & -8\\ 0 & -1\\ -1 & 9\\ -1 & 7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -8 & -9 & 9\\ 0 & -1 & -1 & 1\\ -1 & 9 & 10 & -10\\ -1 & 7 & 8 & -8\end{pmatrix} \] 学生给出的结果第四行为(-1, -1, 0, 1)，与正确结果(-1, 7...