评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生答案：第(1)问中，学生通过变量替换和函数单调性推导出 \(a > 0\)。具体步骤为：由 \(\int_{-1}^1 f(x)dx = 0\) 拆分为 \(\int_{-1}^0 f(x)dx + \int_0^1 f(x)dx = 0\)，对第一个积分作代换 \(x = -t\) 得到 \(\int_{-1}^0 f(x)dx = -\int_0^1 f(-x)dx\)，代入得 \(\int_0^1 [f(x) + f(-x)]dx = 0\)。利用 \(f\) 严格单调递增，在 \(x \in (0,1)\) 时 \(f(-x) < f(x)\)，因此 \(\int_0^1 f(-x)dx < \int_0^1 f(x)dx\)，从而 \(\int_0^1 [f(x) + f(-x)]dx < 2\int_0^1 f(x)dx\)，即 \(0 < 2a\)，故 \(a > 0\)。

标准答案中给出的结论是 \(a > 0\)，但题目要求证明的是 \(a < 0\)，这显然是标准答案本身有误（题目条件为 \(f\) 严格单调递增且 \(\int_{-1}^1 f(x)dx = 0\)，则 \(a = \int_0^1 f(x)dx\) 应为正数）。学生答案逻辑正确、推导严谨，与正确结论一致，应得满分。

得分：6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生答案：第(2)问中，学生先计算 \(F(-1) = \int_{-1}^1 f(t)dt = 0\)，\(F(0) = a + \int_1^0 f(t)dt = 0\)，\(F(1) = 0\)。这里 \(F(0)\) 的计算有误：根据 \(F(x) = a(1 - x^2) + \int_1^x f(t)dt\)，代入 \(x=0\) 得 \(F(0) = a(1-0) + \int_1^0 f(t)dt = a - \int_0^1 f(t)dt = a - a = 0\)，结果正确但中间表达式写为 \(a + \int_1^0 f(t)dt\) 不够准确（应为 \(a - \int_0^1 f(t)dt\)），不过最终值得出为0，可视为笔误不扣分。接着由 \(F(-1)=F(0)=F(1)=0\)，应用罗尔定理，存在 \(\xi_1 \in (-1,0)\) 使 \(F'(\xi_1)=0\)，存在 \(\xi_2 \in (0,1)\) 使 \(F'(\xi_2)=0\)，再对 \(F'\) 在 \([\xi_1,\xi_2]\) 上应用罗尔定理，存在 \(\xi \in (\xi_1,\xi_2) \subset (-1,1)\) 使 \(F''(\xi)=0\)。思路完全正确，推导完整。

标准答案仅简要说明 \(F(-1)=F(0)=F(1)=0\) 再用罗尔定理，学生答案详细给出了过程，且逻辑无误。

得分：6分。

题目总分：6...