评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生通过初等行变换将矩阵化为行最简形，得出秩为2，并指出α₁,α₂线性无关（因为变换后前两列有主元），从而证明它们是极大线性无关组。思路正确，计算无误。但标准答案中未展示具体行变换过程，而学生展示了详细步骤，这并不扣分。因此该部分得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确求出 H = [[1,0,-1,1],[0,1,1,-1]]，与标准答案一致。在计算A¹⁰时，学生巧妙地利用了A=GH，进而写成A¹⁰=G(HG)⁹H，并正确计算出HG = [[1,-1],[0,1]]。计算(HG)⁹时，学生注意到HG是初等矩阵（单位矩阵加上一个幂零矩阵），并正确应用二项式定理（实际上因为幂零部分与单位矩阵可交换，且幂零部分的平方为零，所以展开只剩两项），得到(HG)⁹ = [[1,-9],[0,1]]。最后计算G(HG)⁹H时，矩阵乘法计算基本正确，但最终结果中有一个元素与标准答案不一致：学生答案的(4,2)元素为1，而标准答案为7。检查学生计算过程：G矩阵为(α₁,α₂)，即 G = [[1,1],[0,-1],[-1,0],[-1,-2]]。 计算G(HG)⁹ = [[1,1],[0,-1],[-1,0],[-1,-2]] * [[1,-9],[0,1]] = [[1, -8],[0, -1],[-1, 9],[-1, 7]]。 然后左乘H：A¹⁰ = (G(HG)⁹) * H，即 第一行：[1,-8] * H = [1*1+(-8)*0, 1*0+(-8)*1, 1*(-1)+(-8)*1, 1*1+(-8)*(-1)] = [1, -8, -9, 9] ✓ 第二行：[0,-1] * H = [0*1+(-1)*0, 0*0+(-1)*1, 0*(-1)+(-1)*1, 0*1+(-1)*(-1)] = [0, -1, -1, 1] ✓ 第三行：[-1,9] * H = [(-1)*1+9*0, (-1)*0+9*1, (-1)*(-1)+9*1, (-1)*1+9*(-1)] = [-1, 9, 10, -10] ✓ 第四行：[-1,7] * H = [(-1)*1+7*0, (-1)*0+7*1, (-1)*(-1)+7*1, (-1)*1+7*(-1)] = [-1, 7, 8, -8] ✓ 因此学生最...