评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生答案：第(1)问中，学生通过变量替换和函数单调性，推导出 \( \int_{0}^{1} f(-x) dx < \int_{0}^{1} f(x) dx \)，进而得到 \( 2a > 0 \)，即 \( a > 0 \)。这与标准答案结论一致，且推理过程逻辑正确、完整。虽然标准答案中直接由单调性得到 \( \int_{-1}^{0} f(x) dx < \int_{0}^{1} f(x) dx \)，但学生采用的方法（利用 \( f(-x) < f(x) \) 在 (0,1) 上）也是有效的，且思路清晰。因此，本题得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生答案：第(2)问中，学生首先计算了 \( F(-1) = 0 \)，\( F(0) = 0 \)，\( F(1) = 0 \)。这里 \( F(0) = a + \int_{1}^{0} f(t) dt = 0 \) 的得出依赖于第(1)问中已证的 \( a = \int_{0}^{1} f(x) dx \)，且 \( \int_{1}^{0} f(t) dt = -\int_{0}^{1} f(t) dt = -a \)，因此 \( F(0) = a - a = 0 \)，计算正确。接着，学生应用罗尔定理于区间 \([-1,0]\) 和 \([0,1]\)，得到存在 \( \xi_1 \in (-1,0) \) 和 \( \xi_2 \in (0,1) \) 使得 \( F'(\xi_1) = F'(\xi_2) = 0 \)。再对 \( F'(x) \) 在 \([\xi_1, \xi_2]\) 上应用罗尔定理，得到存在 \( \xi \in (\xi_1, \xi_2) \subset (-1,1) \) 使得 \( F''(\xi) = 0 \)。整个证明思路与标准答案一致，逻辑严谨，结论正确。因此，本题得满分6分。

题目总分：6+6=12分