评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“-根号下2/8”，即 \(-\frac{\sqrt{2}}{8}\)，这与标准答案完全一致。

在高等数学中，由参数方程求二阶导数 \(\frac{d^2y}{dx^2}\) 的公式为：
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\)，
\(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}\)。

本题中：
\(x = 2\sin^2 t, \quad y = t + \cos t, \quad t \in (0, \frac{\pi}{2})\)。
计算得：
\(\frac{dx}{dt} = 4\sin t \cos t = 2\sin 2t\)，
\(\frac{dy}{dt} = 1 - \sin t\)，
所以 \(\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \sin t}{2\sin 2t} = \frac{1 - \sin t}{4\sin t \cos t}\)。

当 \(x = \frac{\pi}{4}\) 时，由 \(2\sin^2 t = \frac{\pi}{4}\) 解得 \(\sin t = \sqrt{\frac{\pi}{8}}\)，但标准答案的数值结果 \(-\frac{\sqrt{2}}{8}\) 提示此时 \(t = \frac{\pi}{4}\)（因为 \(2\sin^2(\frac{\pi}{4}) = 2 \times (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1\)，与 \(x=\frac{\pi}{4}\) 不符，这里需注意：实际上当 \(x=\frac{\pi}{4}\) 时，\(2\sin^2 t = \frac{\pi}{4} \approx 0.785\)，\(\sin t \approx 0.627\)，\(t \approx \arcsin(0.627) \approx 0.678\) 弧度，但标准答案 \(-\frac{\sqrt{2}}{8}\) 是一个精确值，这意味着在计算过...