评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，第一部分试图证明 a > 0。其推导过程为：
由 ∫₋₁¹ f(x)dx = 0 得到 ∫₋₁⁰ f(x)dx = -∫₀¹ f(x)dx。
然后写出 ∫₀¹ [f(x) + f(-x)]dx = 0。
因为 f(x) 严格单调递增，所以当 x ∈ (0,1) 时，有 -x < x，故 f(-x) < f(x)。
因此 ∫₀¹ f(-x)dx < ∫₀¹ f(x)dx，进而 ∫₀¹ [f(x) + f(-x)]dx < 2∫₀¹ f(x)dx。
结合 ∫₀¹ [f(x) + f(-x)]dx = 0，得到 0 < 2a，即 a > 0。
此证明逻辑清晰、正确，与标准答案结论一致（标准答案亦为 a > 0，题目中“a<0”疑似笔误）。因此，本小题应得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生作答中，第二部分证明存在 ξ ∈ (-1,1) 使得 F''(ξ)=0。
学生计算了三个点的函数值：
F(-1) = a(1-1) + ∫₁⁻¹ f(t)dt = 0 + (-∫₋₁¹ f(t)dt) = 0，正确。
F(0) = a(1-0) + ∫₁⁰ f(t)dt = a - ∫₀¹ f(t)dt = a - a = 0，正确。
F(1) = a(1-1) + ∫₁¹ f(t)dt = 0，正确。
因此 F(-1)=F(0)=F(1)=0。
在区间 (-1,0) 和 (0,1) 上分别应用罗尔定理，得到存在 ξ₁ ∈ (-1,0) 和 ξ₂ ∈ (0,1) 使得 F'(ξ₁)=F'(ξ₂)=0。
再在区间 (ξ₁, ξ₂) ⊂ (-1,1) 上对 F'(x) 应用罗尔定理，得到存在 ξ ∈ (ξ₁, ξ₂) ⊂ (-1,1) 使得 F''(ξ)=0。
此证明思路与标准答案提示一致，逻辑完整正确。因此，本小题应得满分6分。

题目总分：6+6=12分