评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生通过初等行变换将矩阵化为行最简形，得出秩为2，并说明α₁,α₂线性无关（因为行最简形前两列是单位向量），从而证明它们是极大线性无关组。思路正确，计算无误。但学生写的是“r(α₁,α₂)=r(α₁,α₂,α₃,α₄)=2”，实际上应明确说明α₁,α₂线性无关，不过从行最简形可以推断。整体逻辑完整，不扣分。

得分：6分

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确写出α₃=α₂−α₁，α₄=α₁−α₂（注意：标准答案中α₄的系数是1和-1，学生写α₄=α₁−α₂，与标准答案一致，因为α₁−α₂ = (1,0,-1,-1) - (1,-1,0,-2) = (0,1,-1,1) 正确）。从而得到H矩阵正确。

计算A¹⁰时，利用A=GH，且H是2×4，G是4×2，先计算HG（2×2矩阵），再求(HG)⁹，最后乘G和H。思路正确，计算过程无误，最终结果与标准答案一致。

注意：学生计算HG时用的G矩阵是(α₁,α₂)，但写成了\(\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\\ -1 & 0\\ 1 & -2\end{pmatrix}\)，实际上α₁=(1,0,-1,-1)ᵀ，α₂=(1,-1,0,-2)ᵀ，所以G矩阵应为\(\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & -1\\ -1 & 0\\ -1 & -2\end{pmatrix}\)。学生写的第三行和第四行有误（第三行应为-1,0，他写成了-1,0？其实他写的是-1,0，但第四行他写成了1,-2，实际应为-1,-2）。但根据他后续计算HG得到\(\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\)，这个结果是正确的（因为HG = H·G，H是\(\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & -1\end{pmatrix}\)，G正确时才会得到该结果）。因此，可能学生只是笔误写错了G的表示，但实际计算时用了正确的G。由于不扣误写分，且最终结果正确，不扣分。

得分：6分

题目总分：6+6=12分