评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生答案中，对于第(1)问的(i)部分，正确推导了当k=1时，首次失效时间T的分布（即n个独立指数分布的最小值的分布），得到了正确的概率密度函数 \( f_T(t) = \frac{n}{\theta} e^{-\frac{n}{\theta}t} \)（t>0）。对于(ii)部分，学生指出 \( a = n \)，并计算了 \( E(T) = \frac{\theta}{n} \)，因此 \( E(\hat{\theta}) = E(aT) = a \cdot \frac{\theta}{n} \)，令其等于θ可得a=n。但学生没有计算 \( D(\hat{\theta}) \)。根据标准答案，第(1)问应包含(i)和(ii)的全部内容。学生缺失了方差的计算，因此扣分。考虑到(i)完全正确，(ii)部分正确（求出了a但未求方差），给予部分分数。扣分点：未计算 \( D(\hat{\theta}) \)。得分：4分（满分6分）。

（2）得分及理由（满分6分）

学生答案中，对于第(2)问，正确写出了对数似然函数，并通过对θ求导，令导数为零，解出了θ的最大似然估计值 \( \hat{\theta} = \frac{1}{k} \left[ \sum_{i=1}^{k} t_i + (n-k)t_k \right] \)，与标准答案完全一致。推导过程清晰无误。得分：6分（满分6分）。

题目总分：4+6=10分