2026年考研数学（一）考试试题 - 第18题回答

好的，我们先逐步分析学生的作答，并与标准答案对比，按照评分要求进行打分。 --- **题目结构** (1) 证明 \( \frac{f''(u)}{u} - \frac{f(u)}{u} = C \)（满分应为 6 分，因为总分 12 分，两问各 6 分） (2) 已知 \( f(1)=1, f'(1)=-1, f''(1)=0 \)，求 \( f(u) \)（满分 6 分） --- ## 第 (1) 问分析 **标准答案思路**： 已知 \( dF = P\,dx + Q\,dy \)，其中 \[ P = \frac{f(xy)}{x^2 y}, \quad Q = \frac{f''(xy)}{x y^2} \] 由恰当微分条件 \( \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \) 可推出关于 \( u = xy \) 的微分方程，从而得到 \( \frac{f''(u)}{u} - \frac{f(u)}{u} = C \)。 **学生作答**： 学生设 \( P(x) = \frac{f(xy)}{xy} \) 这里已经写错，原题是 \( \frac{f(xy)}{x^2 y} \)，但看后面推导，他可能笔误，实际代入时用的是 \( P = \frac{f(u)}{x^2 y} = \frac{f(u)}{u} \cdot \frac{1}{x} \) 吗？ 他写“由 \(\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}\)” 这是错的，恰当条件应是 \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\)。 但下一句他写“可得 \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\)”，这里可能是识别错误或表述混乱，但核心推导后面正确： 令 \( u = xy \)， \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \l...

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