评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生证明过程存在逻辑错误。题目要求证明 a < 0，但学生的结论是 a > 0，这与题目结论相反。其推导过程为：
由 ∫₋₁¹ f(x)dx = 0 得 ∫₋₁⁰ f(x)dx = -∫₀¹ f(x)dx。
学生引入 ∫₀¹ [f(x)+f(-x)]dx = 0，并利用 f(x) 严格单调递增得出在 (0,1) 上 f(-x) < f(x)，从而 ∫₀¹ f(-x)dx < ∫₀¹ f(x)dx。
于是 ∫₀¹ [f(x)+f(-x)]dx < 2∫₀¹ f(x)dx，即 0 < 2a，得到 a > 0。
然而，标准答案明确指出 a = ∫₀¹ f(x)dx > 0。经分析，题目条件“f(x)严格单调递增”且 ∫₋₁¹ f(x)dx = 0，确实应推出 a > 0。原题第(1)问要求证明“a < 0”疑似有误，但作为阅卷应依据题目要求评判。学生结论与题目要求证明的结论相反，属于方向性错误。因此，本小题得0分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生思路正确，但计算细节有误。
学生正确写出 F(-1)=0, F(1)=0。但在计算 F(0) 时，F(0) = a(1-0²) + ∫₁⁰ f(t)dt = a + ∫₁⁰ f(t)dt。
由 a = ∫₀¹ f(x)dx，可知 ∫₁⁰ f(t)dt = -∫₀¹ f(t)dt = -a，因此 F(0) = a - a = 0。学生直接写出 F(0)=0，结果正确，过程省略可接受。
由 F(-1)=F(0)=F(1)=0，在区间 (-1,0) 和 (0,1) 上分别应用罗尔定理，存在 ξ₁ ∈ (-1,0) 和 ξ₂ ∈ (0,1) 使得 F'(ξ₁)=F'(ξ₂)=0。
再在区间 (ξ₁, ξ₂) 上对 F'(x) 应用罗尔定理，存在 ξ ∈ (ξ₁, ξ₂) ⊂ (-1,1) 使得 F''(ξ)=0。
该证明思路与标准答案一致，逻辑完整。因此，本小题得6分。

题目总分：0+6=6分