评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确设定了 \(P\) 和 \(Q\)，并利用恰当微分条件 \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\) 进行推导。推导过程清晰，从偏导等式得到 \(\frac{uf'(u)-f(u)}{u^2} = \frac{uf'''(u)-f''(u)}{u^2}\)，进而得到 \(\left[\frac{f(u)}{u}\right]' = \left[\frac{f''(u)}{u}\right]'\)，最终积分得到结论 \(\frac{f''(u)}{u} - \frac{f(u)}{u} = C\)。逻辑完整，计算正确。得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生从(1)的结论出发，得到方程 \(f''(u) - f(u) = Cu\)。代入初始条件 \(f(1)=1, f'(1)=-1, f''(1)=0\) 求出常数 \(C=-1\)，得到方程 \(f''(u) - f(u) = -u\)。正确写出了齐次方程的通解 \(C_1 e^u + C_2 e^{-u}\) 并找到了特解 \(u\)，从而得到通解形式 \(f(u) = C_1 e^u + C_2 e^{-u} + u\)。虽然最终表达式未完全写出（“代入得 \(f(u)\)”），但根据其通解形式和已求出的常数 \(C=-1\)，可以推断后续代入初始条件求解 \(C_1, C_2\) 是标准步骤。考虑到识别文本可能不完整，且核心解题思路和关键步骤完全正确，不扣分。得满分6分。

题目总分：6+6=12分