评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生证明过程：首先将积分拆分为[-1,0]和[0,1]两部分，并利用f严格单调递增的性质，得到在(0,1)上f(-x) < f(x)，进而推出∫₀¹ [f(x)+f(-x)]dx < 2∫₀¹ f(x)dx。结合已知∫₋₁¹ f(x)dx = 0，通过变量替换得到∫₀¹ [f(x)+f(-x)]dx = 0，从而得到2a > 0，即a > 0。该证明逻辑清晰，步骤完整，结论正确。

标准答案中给出的结论是a > 0，学生证明的结论与之相符。虽然学生证明方法与标准答案不完全相同，但思路正确且论证严密，根据打分要求“思路正确不扣分”。

得分：6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生证明过程：首先计算F(-1)、F(0)、F(1)的值。学生给出F(-1)=∫₋₁¹ f(t)dt=0，F(0)=a+∫₋₁⁰ f(t)dt=0，F(1)=0。这里F(0)的计算有误，根据题目定义F(x)=a(1-x²)+∫₁ˣ f(t)dt，则F(0)=a(1-0)+∫₁⁰ f(t)dt = a - ∫₀¹ f(t)dt = a - a = 0，结果正确但中间表达式写错（写成了a+∫₋₁⁰ f(t)dt），这可能是识别错误或笔误。由于根据上下文判断，该错误未影响后续逻辑，且最终F(0)=0的结论正确，根据禁止扣分规则第4条，判定为误写不扣分。

随后学生应用罗尔定理：由F(-1)=F(0)=0，存在ξ₁∈(-1,0)使F'(ξ₁)=0；由F(0)=F(1)=0，存在ξ₂∈(0,1)使F'(ξ₂)=0；再在[ξ₁, ξ₂]上对F'(x)应用罗尔定理，存在ξ∈(ξ₁, ξ₂)⊂(-1,1)使F''(ξ)=0。该思路正确，步骤完整，与标准答案提示的“F(-1)=F(0)=F(1)=0，再使用罗尔定理可证”一致。

得分：6分。

题目总分：6+6=12分