评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生答案中：

• 对于(i)部分，正确推导了第一个失效时间 \(T\) 的概率密度函数，与标准答案一致。得3分。
• 对于(ii)部分，正确得出 \(a = n\)，并正确计算了 \(D(\hat{\theta}) = \theta^2\)，与标准答案一致。得3分。
• 虽然学生答案中 \(E(t) = \frac{\theta}{n}\) 的写法应为 \(E(T) = \frac{\theta}{n}\)，但这是明显的符号误写，不影响核心逻辑，不扣分。

因此，(1)部分得6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生答案中：

• 正确写出对数似然函数 \(\ln L(\theta)\)。
• 正确对 \(\theta\) 求导并令导数为零。
• 正确解得最大似然估计 \(\hat{\theta} = \frac{1}{k}\left[\sum_{i=1}^{k}t_i+(n-k)t_k\right]\)，与标准答案一致。

因此，(2)部分得6分。

题目总分：6+6=12分