评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答整体思路正确，采用了极坐标变换的方法，与标准答案的直角坐标方法不同，但属于正确解法。积分区域 \(D\) 关于 \(x\) 轴对称，被积函数关于 \(y\) 是偶函数，因此先化为上半区域 \(D_1\) 的 2 倍，这一步正确。在极坐标下，区域 \(D_1\) 的边界由 \(x = \sqrt{1-y^2}\)（即 \(r = 1/\cos\theta\)）和 \(x = 1\)（即 \(r = 1/\sec\theta = 1/\cos\theta\)？这里需要仔细分析：在 \(D_1\) 中，\(y \ge 0\)，\(x\) 从 \(\sqrt{1-y^2}\) 到 1，即从右半圆 \(x = \sqrt{1-y^2}\)（即 \(x^2+y^2=1, x\ge 0\)）到直线 \(x=1\)。在极坐标下，\(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta\)，右半圆对应 \(r=1\)，直线 \(x=1\) 对应 \(r=1/\cos\theta\)。但注意：在 \(D_1\) 中，对于固定的 \(\theta\)，\(r\) 从哪到哪？由 \(x = \sqrt{1-y^2}\) 得 \(r\cos\theta = \sqrt{1 - r^2\sin^2\theta}\)，平方得 \(r^2\cos^2\theta = 1 - r^2\sin^2\theta\)，即 \(r^2 = 1\)，所以 \(r=1\)（因为 \(r\ge 0\)）。因此边界曲线 \(x=\sqrt{1-y^2}\) 对应 \(r=1\)（且 \(x\ge 0\) 自动满足）。而 \(x=1\) 对应 \(r\cos\theta=1\) 即 \(r=1/\cos\theta\)。所以对于固定的 \(\theta\)，\(r\) 从 1 到 \(1/\cos\theta\)？但注意区域：当 \(\theta\) 较小时，\(1/\cos\theta \ge 1\)，所以 \(r\) 从 1 到 \(1/\cos\theta\) 是正确的。然而学生写的积分限是 \(r\) 从 \(1/\cos\theta\) 到 1，这顺序反了，会导致负值。但学生后面计算时似乎调整了顺序（或者他实际上理解的是另一种划分...