2024年考研数学（一）考试试题 - 第21题回答

好的，我们先一步步分析学生的作答，并对照标准答案进行评分。 本题满分 12 分，标准答案中主要分为： 1. 写出矩阵 \(A\)（1 分左右） 2. 求特征值、特征向量，对角化（约 5 分） 3. 计算 \(A^n\)（约 3 分） 4. 计算 \(x_n, y_n, z_n\)（约 3 分） --- **学生作答分析：** 1. **矩阵 \(A\) 的书写** 学生给出的矩阵是 \[ A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & -2 \\ 6 & 3 & 3 \end{pmatrix} \] 但标准答案是 \[ A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & -2 \\ -6 & -3 & 3 \end{pmatrix} \] 学生第三行第一个元素是 6 而不是 -6，第二个元素是 3 而不是 -3。 这可能是识别错误，但根据题设递推式 \(z_n = -6x_{n-1} - 3y_{n-1} + 3z_{n-1}\)，第三行应为 \((-6, -3, 3)\)。 学生写错后，后续计算仍按他写的错误矩阵进行，这属于逻辑错误，不是单纯误写（因为后续特征值等计算都基于这个错误矩阵）。 因此这里要扣分。 2. **特征值计算** 学生按他的矩阵 \(A\) 计算特征多项式，得到 \(\lambda(\lambda-1)(\lambda+2)\)，与标准答案的特征值相同（巧合，因为第三行符号错误但行列式可能碰巧一样？我们验证一下： 学生矩阵 \(\begin{pmatrix}-2&0&2\\0&-2&-2\\6&3&3\end{pmatrix}\)， \(\lambda E - A = \begin{pmatrix}\lambda+2&0&-2\\0&\lambda+2&2\\-6&-3&\lambda-3\end{pmatrix}\)， 他写的特征矩阵和标准答案一样，说明他这里实际上在计算时，第三行前两个元素用了 \(-6, -3\)（即他写矩阵时写错，但计算特征多项式时又按正确的 \(-6, -3\) ...

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