评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确写出了总体分布函数，并推导出最大次序统计量 \(X_{(n)}\) 的概率密度函数 \(f_n(x)\)，计算了 \(E(X_{(n)})\)，进而得到 \(E(T_c) = \frac{cn}{n+1}\theta\)。令其等于 \(\theta\)，解得 \(c = \frac{n+1}{n}\)。思路与计算过程完整正确，与标准答案一致。

得分：6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确计算了 \(E(X_{(n)}^2) = \frac{n}{n+2}\theta^2\)，并代入 \(h(c) = E(T_c - \theta)^2\)，得到表达式 \(h(c) = \theta^2 \left( \frac{n}{n+2}c^2 - \frac{2n}{n+1}c + 1 \right)\)。但在最后一步，学生直接给出“\(c = \frac{n+1}{n}\) 时 \(h(c)\) 最小”，这是错误的。根据表达式，\(h(c)\) 是关于 \(c\) 的二次函数，其最小值在对称轴处取得，即 \(c = \frac{\frac{2n}{n+1}}{2 \cdot \frac{n}{n+2}} = \frac{n+2}{n+1}\)。学生给出的 \(c = \frac{n+1}{n}\) 是无偏估计对应的 \(c\)，并非最小均方误差对应的 \(c\)，这是一个逻辑错误。

扣分：由于核心结论错误，扣3分。

得分：3分。

题目总分：6+3=9分