评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“5”，与标准答案完全一致。题目要求计算 \(\left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{x=0}\)，其中 \(y = f(\cos x, 1 + x^{2})\)，且已知 \(df|_{(1,1)} = 3du + 4dv\)。根据多元复合函数求导法则，一阶导数为 \(\frac{dy}{dx} = f_u \cdot (-\sin x) + f_v \cdot (2x)\)。二阶导数为： \[ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}\left( -f_u \sin x + 2x f_v \right) = -\left( f_{uu} \cdot (-\sin x) + f_{uv} \cdot (2x) \right)\sin x - f_u \cos x + 2f_v + 2x \left( f_{vu} \cdot (-\sin x) + f_{vv} \cdot (2x) \right) \] 代入 \(x=0\)，此时 \(\cos 0 = 1, 1+0^2=1\)，即函数 \(f\) 在点 \((1,1)\) 处取值。已知 \(df|_{(1,1)} = 3du + 4dv\)，即 \(f_u(1,1)=3, f_v(1,1)=4\)。同时，\(\sin 0 = 0\)，因此所有含 \(\sin x\) 或 \(x\) 的项在代入后均为0。最终得到： \[ \left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{x=0} = -f_u(1,1) \cdot \cos 0 + 2f_v(1,1) = -3 \times 1 + 2 \times 4 = -3 + 8 = 5. \] 学生答案正确，且作答简洁明了，符合填空题要求。根据评分规则，应给予满分5分。

题目总分：5分