评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“-1/π”，这与标准答案“-1/π”在数学上完全一致。题目要求计算极限 \(\lim_{n\rightarrow\infty}n^{2}\sin a_{2n - 1}\)，其中 \(a_n\) 是函数 \(f(x)=x+1\) 在区间 \([0, \pi]\) 上展开为余弦级数的傅里叶系数。根据傅里叶系数公式，可以计算出 \(a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi (x+1)\cos(nx) dx\)。通过计算可得 \(a_n = \frac{2}{n^2\pi}((-1)^n - 1)\)。因此，当 \(n\) 为奇数时，\(a_n = -\frac{4}{n^2\pi}\)。令 \(n = 2k-1\)，则 \(a_{2k-1} = -\frac{4}{(2k-1)^2\pi}\)。所求极限为 \(\lim_{k\rightarrow\infty} k^2 \sin(a_{2k-1})\)。当 \(k \to \infty\) 时，\(a_{2k-1} \to 0\)，利用等价无穷小 \(\sin x \sim x\)，可得 \(\sin(a_{2k-1}) \sim a_{2k-1} = -\frac{4}{(2k-1)^2\pi}\)。因此，极限为 \(\lim_{k\rightarrow\infty} k^2 \cdot \left( -\frac{4}{(2k-1)^2\pi} \right) = -\frac{4}{4\pi} = -\frac{1}{\pi}\)。学生答案正确，且书写规范（使用了π的HTML实体π）。根据打分要求，正确则给满分5分。

题目总分：5分