2024年考研数学（一）考试试题 - 第17题回答

好的，我们先一步步分析学生的作答与标准答案的异同，并按照评分要求进行评判。 --- ## 1. 题目与标准答案回顾 题目： \[ D = \{(x,y) \mid \sqrt{1-y^2} \le x \le 1, \ -1 \le y \le 1\} \] 计算 \[ I = \iint_D \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \, dx \, dy \] 标准答案思路： - 利用对称性（关于 \(x\) 轴对称，被积函数关于 \(y\) 是偶函数）化为上半部分 \(D_1: y\ge 0\) 的 2 倍。 - 先对 \(x\) 积分，令 \(u = x^2+y^2\) 等，最后得到 \[ I = \sqrt{2} - 2 + \ln(1+\sqrt{2}) \] --- ## 2. 学生作答分析 学生做法： 1. 先设 \(D_1 = \{ (x,y) \mid \sqrt{y-y^2} \le x \le 1, 0 \le y \le 1\}\) —— **这里明显写错**，应为 \(\sqrt{1-y^2}\)，不是 \(\sqrt{y-y^2}\)。 但看后面步骤，他实际上在极坐标下处理，所以可能只是识别错误，实际他用的极坐标边界是 \(x \ge \sqrt{1-y^2}\)，即 \(r\cos\theta \ge \sqrt{1-r^2\sin^2\theta}\)，化简得 \(r \ge 1\) 吗？不对，我们仔细看： 区域 \(D\) 的边界 \(x = \sqrt{1-y^2}\) 即 \(x^2+y^2=1\) 且 \(x\ge 0\)，这是单位圆的右半圆。 所以 \(D\) 是右半圆被直线 \(x=1\) 切去右边一部分（实际上 \(x\le 1\) 是多余的？检查：右半圆上 \(x\le 1\) 恒成立，除了点 (1,0) 外，所以 \(x\le 1\) 不切掉区域，只是限制 \(x\) 最大为 1）。 其实 \(D\) 就是右半圆盘： \[ x^2+y^2 \le 1, \quad x\ge 0, \quad -1\le y\le 1 \] 因为 \(x\ge \sqrt{1-y^2}...

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