评分及理由

（1）得分及理由（满分2分）

得2分。学生正确地写出了二次型对应的矩阵，矩阵形式与标准答案一致，即 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \)。思路正确，无逻辑错误。

（2）得分及理由（满分7分）

得2分。学生在这一部分存在若干错误：

1. 在求特征向量时，对于特征值14的特征向量，学生写为 \( \xi_3 = \sqrt{14} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)，这是错误的，因为 \( \sqrt{14} \) 是一个数乘因子，不应该出现在未单位化的特征向量中，且计算过程不清晰。虽然最终单位化后得到正确向量，但此步有逻辑错误，应扣1分。
2. 在单位化过程中，学生给出的 \( p_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}(-2,1,0)^T \) 正确，但 \( p_2 = \frac{1}{\sqrt{10}}(-3,0,1)^T \) 错误，因为向量 \( (-3,0,1) \) 的模为 \( \sqrt{10} \)，但该向量与 \( p_1 \) 并不正交（标准答案中需要先施密特正交化，而学生未进行这一步骤，直接假设二者正交，导致所得矩阵Q不是正交矩阵）。此为核心逻辑错误，应扣3分。
3. 由于特征向量未正确正交化，构造的正交矩阵 \( Q = \begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{14}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{14}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{3}{\sqrt{14}} \end{pmatrix} \) 不是正交矩阵（例如第1列和第2列的点积不为0），因此该部分过程不完整且错误，不能得分。标准答案要求通过正交变换化为标准形，学生未完成正确的正交变换，应扣1分。
4. 在标准形的书写上，学生未明确写出标准形 \( 14y_1^2 \)，但后续在第三问有提及 f=0 时的表达式，可能隐含得到，但本问核心要求是“求正交变换将f化为标准形”，学生未明确给出标准形且存在正交矩...