评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

本题主要考察两个问题：求θ的最大似然估计量以及求该估计量的方差。学生作答在整体思路和关键步骤上基本正确，但存在一处计算错误。

（1.1）求最大似然估计量部分（满分约7分）

学生正确写出了指数分布的概率密度函数（虽然定义域写为x≥0，但标准答案写为x>0，这在指数分布中属于合理的细节差异，不扣分）。在构建似然函数时，学生表达为 \( L(\theta)=\frac{1}{2^m\theta^{m + n}}e^{-\frac{1}{\theta}(\sum_{i = 1}^{n}x_i+\frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{m}y_k)} \)，这与标准答案的 \( L(\theta)=\frac{1}{2^m\theta^{m + n}}e^{-\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{\theta} - \frac{\sum_{j=1}^m y_j}{2\theta}} \) 在数学上等价，核心逻辑正确。

在求导并求解估计量时，学生得到的导数为 \( \frac{d\ln L(\theta)}{d\theta}=-\frac{m + n}{\theta}+\frac{1}{\theta^2}(\sum_{i = 1}^{n}x_i+\frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{m}y_k)=0 \)，推导步骤正确。然而，在求解估计量时，学生给出的最终结果为 \( \hat{\theta}=\frac{1}{m + n}(2\sum_{i = 1}^{n}x_i+\sum_{k = 1}^{m}y_k) \)。

此处存在逻辑错误：

根据导数为0的方程：\( -\frac{m+n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2}(\sum x_i + \frac{1}{2}\sum y_k) = 0 \)，正确求解过程应为：

移项得 \( \frac{m+n}{\theta} = \frac{1}{\theta^2}(\sum x_i + \frac{1}{2}\sum y_k) \)，两边乘以 \( \theta^2 \) 得 \( (m+n)\theta = \sum x_i + \frac{1}{2}\sum y_k \)，解得 \( \theta = \frac{\sum x...