评分及理由

（1）得分及理由（满分7分）

本题包含两部分：求满足 \(A\xi_2=\xi_1\) 的所有向量 \(\xi_2\)，以及求满足 \(A^2\xi_3=\xi_1\) 的所有向量 \(\xi_3\)。标准答案中，\(\xi_2\) 为含一个任意常数的通解形式，\(\xi_3\) 为含两个任意常数的通解形式。学生作答中：（i）对于 \(\xi_2\)，得到 \(\xi_2=\begin{pmatrix}t-1\\t\\2\end{pmatrix}\)，该结果实际上是一个特解而非通解（因为通解应含一个自由变量，但这里第三个分量固定为2，且 \(t\) 为参数，形式上可以视为通解的一种表示，但与标准答案 \(\xi_2=k_1(1,-1,2)^T+(0,0,1)^T\) 不一致。标准答案的通解为 \((k_1, -k_1, 2k_1+1)^T\)，而学生给出 \((t-1, t, 2)^T\)，两者不完全等价，且学生的形式缺少了应有的自由变量方向，导致通解表达错误）。（ii）对于 \(\xi_3\)，学生错误地将其与 \(\xi_2\) 的关系理解为 \(A\xi_3=\xi_2\)，而非题目要求的 \(A^2\xi_3=\xi_1\)，导致求解的方程错误，所得 \(\xi_3\) 不是正确通解。同时学生计算的 \(A^2\) 也出现错误（第一次识别 \(A^2=\begin{pmatrix}2&2&0\\0&-2&0\\0&4&4\end{pmatrix}\)，第二次识别 \(A^2=\begin{pmatrix}2&2&0\\2&2&0\\0&4&4\end{pmatrix}\)，均与标准答案 \(A^2=\begin{pmatrix}2&2&0\\-2&-2&0\\4&4&0\end{pmatrix}\) 不符）。因此（I）中 \(\xi_2\) 的通解表达式错误，\(\xi_3\) 的求解方程和结果均错误，不能得分，但学生正确写出了求解矩阵方程的思路，可酌情给予少量分。综合判定：\(\xi_2\) 部分由于形式错误但思路正确，给1分；\(\xi_3\) 部分由于方程错误，给0分。故（1）得1分。

（2）得分及理由（满分4分）

学生在证明线性无关时，设 \(k_1\xi_1+k_2\xi_2+k_3\xi_3=0\)，但未直接利用（I）中所得...