评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生第（Ⅰ）问的解题思路是使用卷积公式，尝试计算 \( Z = X - Y \) 的概率密度。从识别结果看，学生明确写下了 \( f(z,\sigma^2) = \int f(x)f(x-z)dx \)，这说明思路方向是正确的（尽管卷积公式中第二个密度应为 \( f(x-z) \) 的形式，且需正确处理正态分布的均值和方差）。但是，学生在后续展开和化简过程中存在错误：其假设了 \( X, Y \) 的方差为 \( \frac{\sigma^2}{6} \)，这与题干给出的 \( X \sim N(\mu,\sigma^2) \)、\( Y \sim N(\mu,2\sigma^2) \) 不符，导致最终得到的密度函数形式错误（标准答案应为 \( \frac{1}{\sqrt{6\pi}\sigma} e^{-z^2/(6\sigma^2)} \)，而学生写成了含 \( \frac{8}{9}z^2 + \frac{4}{3}\mu z + 2\mu^2 \) 的错误形式）。此外，未利用正态分布的可加性这一正确且简便的方法。由于最终结果错误，不能给满分。但学生正确使用了卷积公式这一思路，并考虑到积分计算，思路方向基本正确，只是计算细节出错，故给一半分数。

（2）得分及理由（满分4分）

学生第（Ⅱ）问基于其第（Ⅰ）问的错误密度函数来构建似然函数，因此其得到的最大似然估计量 \( \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n\left( \frac{8}{9}z_i^2 + \frac{4}{3}\mu z_i + 2\mu^2 \right) \) 是错误的。虽然学生正确写出了似然函数的乘积形式、取对数、求导并令导数为零的步骤，但这一切建立在错误的密度形式之上，因此最终估计量不正确。由于第（Ⅰ）问的错误直接导致此问的错误，且估计量形式命题点错误（标准答案为 \( \frac{1}{3n}\sum Z_i^2 \)），逻辑链条完全偏离，故此问不给分。

（3）得分及理由（满分3分）

学生第（Ⅲ）问根据其错误的估计量来计算期望，并得出结论“\( \hat{\sigma}^2 \) 是无偏的”或“有偏的”，但由于其估计量本身错误，且计算过程中使用了错误的方差 \( \frac{\sigma...