评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

该生作答存在严重逻辑错误，具体扣分如下：

• 偏导数计算正确（不扣分）： 一阶、二阶偏导数的计算与标准答案一致，这部分思路正确，不扣分。
• 代入化简正确（不扣分）： 将偏导数代入方程后化简得到 \(u^2 f''(u) + u f'(u) = 1\)，这一步与标准答案一致。
• 微分方程求解错误（扣8分）： 学生令 \(u=e^t\) 后得出通解 \(f(u)=C_1 u + C_2 \frac{1}{u}\)，这是错误的。正确的方程应为 \(u^2 f'' + u f' = 1\)，即 \(f'' + \frac{1}{u}f' = \frac{1}{u^2}\)，其解为 \(f(u)=\frac{1}{2}\ln^2 u + 2\ln u + 1\)（结合初始条件）。学生将方程错误地当成了欧拉方程 \(u^2 f'' + u f' = 0\) 的形式来求解，导致通解形式完全错误。这是核心逻辑错误，扣除8分。
• 初始条件使用错误（扣2分）： 题目给出 \(\left.\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{(x,x)} = \frac{2}{x}\)，但学生写成了 \(\frac{3}{x}\)，并由此得到 \(f'(1)=3\)。这是明显的误读或计算错误，扣除2分。
• 最终答案错误（扣2分）： 由于通解和初始条件均错误，最终答案 \(f(u)=\frac{3}{2}u - \frac{1}{2u}\) 与正确答案不符，扣除2分。

综上，该生虽在偏导数计算和方程化简部分正确，但后续核心求解逻辑错误，导致最终结果错误。根据打分要求，逻辑错误必须扣分，且不能给满分。本题满分12分，扣分合计12分，得0分。

题目总分：0分