评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确写出 \(T=\max\{X_1,X_2,X_3\}\) 的分布函数思路： \[ F_T(t)=P(T\le t)=P(X_1\le t)P(X_2\le t)P(X_3\le t), \] 并分 \(t<0,\ 0\le t<\theta,\ t\ge \theta\) 讨论，这是正确的。

但识别结果中在 \(0\le t<\theta\) 时写成 \[ F_T(t)=\int_0^t \frac{3t^2}{\theta^3}\,dt=\left(\frac t\theta\right)^3, \] 这里若严格看存在变量混淆：积分变量与被积函数中的变量都用 \(t\)，且没有体现三次方，因为 \(P(X_1\le t)=\int_0^t \frac{3x^2}{\theta^3}dx=(t/\theta)^3\)，再对三个独立样本取最大值应立方，得 \[ F_T(t)=\left(\frac t\theta\right)^9. \] 不过最终手写概率密度给出 \[ f_T(t)=\frac{9t^8}{\theta^9},\quad 0

因此第（1）问给满分6分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确利用无偏估计条件： \[ E(aT)=aE(T)=\theta. \] 并计算 \[ E(T)=\int_0^\theta t\cdot \frac{9t^8}{\theta^9}\,dt =\frac{9}{\theta^9}\int_0^\theta t^9\,dt =\frac{9}{10}\theta. \] 然后由 \[ a\cdot \frac{9}{10}\theta=\theta \] 得到 \[ a=\frac{10}{9}. \] 过程与标准答案一致，结果正确。

因此第（2）问给满分5分。

题目总分：6+5=11分