评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

得分：6分。

理由：学生正确由矩阵方程看出两组对应关系：特征值 \(-1\) 对应特征向量 \((1,0,-1)^T\)，特征值 \(1\) 对应特征向量 \((1,0,1)^T\)。又由 \(r(A)=2\) 且 \(A\) 为3阶实对称矩阵，推出另一个特征值为 \(0\)。再利用实对称矩阵不同特征值对应特征向量正交，得到特征值 \(0\) 对应特征向量为 \((0,1,0)^T\)。整体逻辑与标准答案一致，特征值、特征向量求解完整正确，因此给满分。

（Ⅱ）得分及理由（满分5分）

得分：5分。

理由：学生使用矩阵对角化公式 \(A=P\Lambda P^{-1}\)，其中 \(P=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix}\)， \(\Lambda=\mathrm{diag}(-1,1,0)\)，与标准答案一致，并计算得到 \(A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}\)，结果正确。计算过程和最终矩阵均正确，因此给满分。

题目总分：6+5=11分