评分及理由

（1）得分及理由（满分3分）

得分：3分。

理由：学生由二次型秩为2推出 \(r(A^TA)=2\)，进而利用 \(|A^TA|=0\) 求 \(a\)，思路正确；虽然学生所写行列式矩阵与标准答案中 \(A^TA\) 的元素顺序略有差异，但核心结论 \(a=-1\) 正确。按照“思路正确不扣分”和“识别误写不扣分”的原则，第(I)问给满分。

（2）得分及理由（满分8分）

得分：3分。

理由：学生正确求出 \(A^TA=\begin{pmatrix}2&0&2\\0&2&2\\2&2&4\end{pmatrix}\)，并正确配方得到 \(f=2(x_1+x_3)^2+2(x_2+x_3)^2\)。但题目要求“正交变换 \(x=Qy\)”，学生给出的变换矩阵 \[ Q=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix} \] 不是正交矩阵，因为其列向量不互相正交且列范数不全为1，因此不满足正交变换要求，导致未得到标准形 \(f=2y_2^2+6y_3^2\)。属于关键逻辑/方法错误，不能给满分。考虑到二次型展开与配方主体正确，给一部分过程分，扣5分。

题目总分：3+3=6分