评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

得5分。学生正确写出了两个二次型对应的矩阵 \(A=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&4\end{pmatrix}\)、\(B=\begin{pmatrix}a&2\\2&b\end{pmatrix}\)，并由正交变换前后矩阵特征值相同得到特征值 \(0,5\)，进而列出 \(a+b=5,\ ab=4\)，结合 \(a\ge b\) 解得 \(a=4,b=1\)。逻辑与标准答案一致，结论正确。

（2）得分及理由（满分6分）

得6分。学生正确求出 \(A\) 与 \(B\) 的单位特征向量，并按对应特征值构造正交矩阵 \(Q=PF^{-1}=PF^{T}\)，计算得到 \[ Q=\begin{pmatrix}\frac45&-\frac35\\-\frac35&-\frac45\end{pmatrix}. \] 该结果与标准答案一致，且满足 \(Q^TAQ=B\)。求解过程中“\(P^{-1}BP=\Lambda\)，\(F^{-1}AF=\Lambda\)”的记号与标准答案中的 \(P_1,P_2\) 不同，但本质上是对应关系正确，属于思路正确不扣分。最终正交矩阵正确，逻辑完整。

题目总分：5+6=11分