评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生使用拉格朗日中值定理证明不等式：令 \( f(x) = \ln x \)，在区间 \([n, n+1]\) 上应用拉格朗日中值定理，存在 \(\xi \in (n, n+1)\) 使得 \( \ln(n+1) - \ln n = \frac...

评分及理由 （1）得分及理由（满分12分） 学生作答尝试利用对称性将曲面积分转化为第一象限部分并投影计算，但存在多处逻辑错误： 对称性使用错误：原曲面关于xOz和yOz平面对称，但被积函数中各项的奇偶性不一致（例如xy²+x关于x是奇函数但关于z非奇偶，y³-z²关于z是奇函数但关...

评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分6分） 学生作答完全偏离题目要求。题目是关于函数性质证明的综合题，涉及零点存在性和微分方程构造，但学生作答内容为曲面积分计算，与本题无关。核心逻辑错误，无法得分。扣6分。 （Ⅱ）得分及理由（满分6分） 学生作答完全偏离题目要求。题目第二部分需要构造辅助...

评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分6分） 学生作答内容与题目完全无关，识别结果涉及曲面积分计算，而题目要求证明函数零点与微分方程存在性。学生未对第（Ⅰ）部分给出任何证明，因此得0分。 （Ⅱ）得分及理由（满分6分） 学生作答内容与题目完全无关，识别结果涉及曲面积分计算，而题目要求证明微分方程...

评分及理由 （1）得分及理由（满分12分） 学生作答直接对原曲面积分进行参数化计算，未采用高斯公式和补充曲面的标准方法。虽然最终答案正确（\(\frac{19\pi}{48}\)），但过程中存在逻辑错误： 第一步转化中，表达式“\(4\iint_{\Sigma_1} 4x(x y...

评分及理由 （1）得分及理由（满分12分） 学生作答尝试直接计算曲面积分，但存在多处逻辑错误： 曲面积分方向（右侧）未正确处理，直接投影计算时未考虑方向因子。 被积函数转换错误，如将 \(zy^2 - x^2\) 误写为 \(2z\)，且未统一投影变量。 积分区域限制错误（\(0 \le...

评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分6分） 学生答案中，对于T的分布函数和概率密度函数的求解存在多处错误。首先，在定义F_T(t)时，第一次识别中写成了P{(X^2+Y^2)Z≤t} = P{x≥Y, x^2+Y^2≤t} + P{x 得分：0分 （Ⅱ）得分及理由（满分6分） ...

评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分6分） 学生作答中，正确指出|A|=0必有特征值0，并根据单特征值不等于0的情况，得出特征值为4（二重0）。给出了Ax=0的通解形式k1(1,1,0)^T + k2(-1,0,1)^T，这与标准答案一致。但在计算矩阵A时，学生给出的A矩阵元素有误（如第一...

评分及理由 （1）得分及理由（满分12分） 学生作答尝试利用对称性将曲面积分转化为第一象限部分再乘以4，但存在多处逻辑错误： 错误1：对称性使用不当。原曲面关于xOz平面对称，但被积函数中各项的对称性不一致（例如xy²+x关于y是偶函数，但y³-z²关于y是偶函数，zy²-x²关于y是奇...

评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分6分） 学生作答中，第一次识别结果和第二次识别结果均正确证明了存在两个不同的零点。核心逻辑如下： 正确使用反证法：假设\(f(x)\)恒小于0，则积分\(\int_a^b f(x)dx < 0\)，与已知\(\int_a^b f(x)dx = 0\)矛盾，故存在\(x_0 \in (a,b)\)使得\(f(x_0) > 0\)。 正确应用零点定理：在区间\((a, x_0)\...

评分及理由 （1）得分及理由（满分6分） 学生作答中第一部分的积分区域划分正确，但被积函数有误。标准答案中第一部分的被积函数是\(\arctan^2 y\)，而学生误写为\(x \arctan^2 y\)（识别结果中为\(\arctan^2 y \mathrm{d}y \int x \ma...

评分及理由 （1）求驻点部分（满分3分） 学生正确计算了一阶偏导数，但求解驻点时存在错误。标准答案中驻点为(0,0), (±1,0), (0,±1/√2)，而学生只得到(0,0), (±√2/2,±√2/2)和x²+y²=1的圆。虽然x²+y²=1确实包含了一些驻点，但未完整列出所有驻点，...

8 评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生作答为“8”，而标准答案为\(\frac{9 + \sqrt{61}}{2}\)（约等于8.405）。该问题要求对未知参数\(r\)进行极大似然估计，需要基于观测数据\(X=1,2,2\)和概率模型构建似然函数并求解最大值点。学生直接给出数值...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生作答的两次识别结果中，第二次识别结果为矩阵形式：\[ \begin{bmatrix} 1&0&6\left[1 - (\frac{3}{4})^n\right]\\ 0&1&- 3\left[1 - (\frac{3}{4})^n\right]...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生答案：\(\frac{1}{12}xe^{3x}-\frac{1}{36}e^{3x}\) 标准答案：\(y(x) = \frac{1}{12}(xe^{3x} - \frac{1}{3}e^{3x})\) 化简学生答案：\(\frac{1}{...

-e/4 评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生答案为“-e/4”，而标准答案为“(-4 + 3e)/12”。首先，需要计算函数在x=0处的傅里叶级数收敛值，这实际上就是函数在该点的傅里叶级数和，对于分段函数，通常需要考察函数在该点的左右极限以及函数值。但本题中，函数在x=0处定义为...

e/4-5/84 评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生答案：e/4-5/84 标准答案：\(\frac{1}{4}e - \frac{5}{84}\) 学生答案与标准答案完全一致，表达形式等价（e/4 即 \(\frac{e}{4}\)，5/84 即 \(\frac{5}{84}\...

-5/6 评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生作答为“-5/6”，即 \(-\frac{5}{6}\)，与标准答案 \(-\frac{5}{6}\) 完全一致。该题是填空题，仅需给出最终数值结果，学生答案正确且无任何逻辑错误或计算错误。因此得5分。 题目总分：5分