评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

本题考察曲线弧长的计算。根据弧长公式，曲线 \(y = \int_0^x \tan t \, dt\) 在区间 \([0, \frac{\pi}{4}]\) 上的弧长为： \[ s = \int_0^{\pi/4} \sqrt{1 + (y')^2} \, dx \] 其中 \(y' = \tan x\)，代入得： \[ s = \int_0^{\pi/4} \sqrt{1 + \tan^2 x} \, dx = \int_0^{\pi/4} \sec x \, dx \] 计算该积分： \[ \int \sec x \, dx = \ln |\sec x + \tan x| + C \] 代入上下限： \[ s = \left[ \ln |\sec x + \tan x| \right]_0^{\pi/4} = \ln (\sqrt{2} + 1) - \ln (1 + 0) = \ln (\sqrt{2} + 1) \] 标准答案为 \(\ln(\sqrt{2}+1)\)。

学生第一次识别结果为 \(\ln(1+\frac{x}{2})\)，第二次识别结果为 \(\ln(1 + x)\)。这两个结果均含有变量 \(x\)，而弧长应是一个确定的数值。这表明学生可能未正确完成定积分计算，或错误地保留了积分变量。由于结果与标准答案在形式上和数值上均不符，且存在逻辑错误（弧长不应含变量），因此不能得分。

得分：0分

题目总分：0分