评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答存在以下问题：

1. 函数定义错误：学生将原方程改写为 \(\xi + t(x) = \frac{x}{\arctan x}\)，这与原方程 \(k \arctan x - x = 0\) 不符，属于逻辑错误。
2. 导数计算错误：学生对 \(t(x)\) 求导得到 \(f'(x) = \frac{\arctan x - \frac{x}{1+x^2}}{(\arctan x)^2}\)，但这是对 \(t(x)\) 的导数，而非原函数 \(f(x)\) 的导数，属于逻辑错误。
3. 单调性分析错误：学生通过分析 \(g(x) = \arctan x - \frac{x}{1+x^2}\) 的单调性来推断 \(t(x)\) 的单调性，但这一分析与原方程根的问题无关，属于逻辑错误。
4. 结论错误：学生最终结论为 \(k \in (1, +\infty)\) 时有 2 个实根，\(k \leq 1\) 时无实根，但标准答案为 \(k \leq 1\) 时有 1 个实根（\(x=0\)），结论完全错误。

由于学生从函数定义到导数计算、单调性分析及最终结论均存在严重逻辑错误，且未正确分析参数 \(k\) 对实根个数的影响，故本题得分为 0 分。

题目总分：0分