评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生第一问证明思路与标准答案基本一致，通过构造函数利用导数证明不等式。但存在以下问题：

1. 在证明$\ln(1+x) < x$时，学生没有给出完整的证明过程，只给出了$\frac{x}{1+x} < \ln(1+x)$的证明。
2. 在证明$\ln(1+x) < x$时，学生使用了$g(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}-1$，但证明过程不完整且逻辑不够清晰。
3. 学生给出的证明范围是$x\in(0,1)$，而题目要求对任意正整数$n$都成立，即$x=\frac{1}{n}\in(0,1]$，证明范围不够完整。

（2）得分及理由（满分5分）

学生第二问证明思路正确：

1. 正确计算了$a_{n+1}-a_n = \frac{1}{n+1} - \ln(1+\frac{1}{n})$
2. 正确利用第一问结论得出$a_{n+1}-a_n < 0$，说明数列单调递减
3. 正确证明$a_n > \ln(\frac{n+1}{n}) > 0$，说明数列有下界
4. 正确应用单调有界收敛定理得出数列收敛

题目总分：3+5=8分