评分及理由

（1）得分及理由（满分5.5分）

学生正确写出了似然函数和对数似然函数，并通过求导得到了最大似然估计 \(\hat{\sigma}^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \mu_0)^2}{n}\)，这与标准答案一致。虽然第一行似然函数表达式中出现了"t(x)"这样的多余符号，但根据禁止扣分规则第5条，这属于识别问题导致的多余信息，不扣分。因此本小题得满分5.5分。

（2）得分及理由（满分5.5分）

学生计算期望时，正确得到 \(E(\hat{\sigma}^2) = \sigma^2\)，这部分正确。但在计算方差时，虽然思路正确（通过计算二阶矩），但具体计算过程出现了严重的逻辑错误：从"\(\frac{\sigma^4}{n^2} \left( \frac{n^4}{n^3 + 2n^2} \cdot (n^2 + 2n) - \frac{\sigma^4}{n} \right)\)"开始，表达式重复且混乱，没有正确利用卡方分布的性质，最终没有得到正确结果 \(D(\hat{\sigma}^2) = \frac{2\sigma^4}{n}\)。根据逻辑错误扣分原则，需要扣分。考虑到期望计算正确，方差计算思路正确但执行错误，给予部分分数，扣2分，得3.5分。

题目总分：5.5+3.5=9分