评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是"1"，与标准答案一致。

该题考查的是二次型在正交变换下的标准形问题。原二次型对应的矩阵为： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \] 经正交变换后化为 \(y_1^2 + 4z_1^2 = 4\)，即标准形为 \(y_1^2 + 4z_1^2\)，特征值为 1, 4, 0。

由于正交变换不改变特征值，因此矩阵A的特征值应为 1, 4, 0。根据特征值的性质： - 矩阵的迹等于特征值之和：\(1 + 3 + 1 = 1 + 4 + 0\)，即 \(5 = 5\)，恒成立 - 矩阵的行列式等于特征值之积：\(\det(A) = 1 \times 4 \times 0 = 0\)

计算行列式： \[ \det(A) = 1 \times (3 \times 1 - 1 \times 1) - a \times (a \times 1 - 1 \times 1) + 1 \times (a \times 1 - 3 \times 1) \] \[ = 1 \times (3-1) - a \times (a-1) + 1 \times (a-3) \] \[ = 2 - a(a-1) + (a-3) \] \[ = 2 - a^2 + a + a - 3 \] \[ = -a^2 + 2a - 1 \] 令其等于0：\(-a^2 + 2a - 1 = 0\)，即 \(a^2 - 2a + 1 = 0\)，解得 \(a = 1\)。

学生答案正确，得4分。

题目总分：4分