评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确证明了不等式 \(\frac{1}{n+1} < \ln(1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n}\)。具体过程如下：
- 定义了 \(h(x) = \ln(1+x) - \frac{x}{1+x}\)，计算导数 \(h'(x) = \frac{x}{(1+x)^2} > 0\)（在 \(x \in (0,1)\)），得出 \(h(x)\) 单调递增，从而 \(\ln(1+x) > \frac{x}{1+x}\)。
- 定义了 \(g(x) = \ln(1+x) - x\)，计算导数 \(g'(x) = \frac{-x}{1+x} < 0\)（在 \(x \in (0,1)\)），得出 \(g(x)\) 单调递减，从而 \(\ln(1+x) < x\)。
- 最后代入 \(x = \frac{1}{n}\)，得到所需不等式。
证明逻辑清晰，与标准答案思路一致，仅函数符号不同（标准答案用 \(f(x)\) 和 \(g(x)\)，学生用 \(h(x)\) 和 \(g(x)\)），这不影响正确性。因此得满分5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确证明了数列 \(\{a_n\}\) 收敛。具体过程如下：
- 计算 \(a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+1} - \ln(1+\frac{1}{n})\)，利用(1)中不等式 \(\frac{1}{n+1} < \ln(1+\frac{1}{n})\)，得出 \(a_{n+1} - a_n < 0\)，即数列单调递减。
- 证明数列有下界：\(a_n > \ln(1+n) - \ln n = \ln(1+\frac{1}{n}) > 0\)，但这里学生写的是 \(a_n > \ln(1+n) - \ln n\)，而标准答案中是通过 \(a_n > \sum_{k=1}^n \ln(1+\frac{1}{k}) - \ln n = \ln(n+1) - \ln n\) 得出下界。学生直接写出 \(a_n > \ln(1+n) - \ln n\)，虽然步骤简化，但本质正确（因为 \(\ln(1+n) - \ln n = \ln(1+\frac{1}{n})\)，且由(1)知 \(\frac{1}{k} > \ln(1+\frac{1}{k})\)，所以 \(a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n > \sum_{k=1}^n \ln(1+\frac{1}{k}) - \ln n = \ln(n+1) - \ln n\)，学生直接取最后一步，逻辑正确）。因此数列有下界。
- 应用单调有界收敛定理，得出数列收敛...