评分及理由

（1）得分及理由（满分5.5分）

学生正确写出了似然函数和对数似然函数，并通过对数似然函数求导得到最大似然估计量 \(\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu_0)^2\)。推导过程完整，与标准答案一致。得5.5分。

（2）得分及理由（满分5.5分）

学生正确计算了 \(E(\hat{\sigma}^2) = \sigma^2\)，但在计算方差时出现了逻辑错误：
- 在计算 \(D(\hat{\sigma}^2)\) 时，学生使用了 \(E[(\hat{\sigma}^2)^2] - [E(\hat{\sigma}^2)]^2\) 的方法，但计算过程中出现了错误
- 学生最终得到的结果是 \(\frac{\sigma^4}{n}\)，而正确答案应为 \(\frac{2\sigma^4}{n}\)
- 虽然学生最后一行写到了 \(\frac{2\sigma^4}{n}\)，但这似乎是独立于前面推导的另一个表达式，没有形成完整的正确推导过程
由于方差计算存在逻辑错误，扣2分。得3.5分。

题目总分：5.5+3.5=9分