评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是 \(1\)，与标准答案一致。

该题考察二次曲面方程在正交变换下的标准形问题。原二次型矩阵为： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \] 经正交变换后化为 \(y_1^2 + 4z_1^2 = 4\)，即标准形对应的矩阵特征值为 \(1, 4, 0\)（因为方程中缺少 \(x_1^2\) 项，对应特征值 0）。

根据正交变换的性质，矩阵 \(A\) 的特征值应与标准形对角线元素相同，即 \(\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 4, \lambda_3 = 0\)。

由特征值 0 可得 \(\det(A) = 0\)，计算： \[ \det(A) = 1\cdot(3\cdot 1 - 1\cdot 1) - a\cdot(a\cdot 1 - 1\cdot 1) + 1\cdot(a\cdot 1 - 3\cdot 1) = (3-1) - a(a-1) + (a-3) \] \[ = 2 - a^2 + a + a - 3 = -a^2 + 2a - 1 = -(a-1)^2 = 0 \] 解得 \(a = 1\)。

学生答案正确，得满分 4 分。

题目总分：4分