评分及理由

（1）得分及理由（满分5.5分）

学生第一问最终得到了正确的最大似然估计结果 \(\hat{\sigma}^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu_0)^2}{n}\)，这是得分的关键。但推导过程中存在严重逻辑错误：

1. 第一行出现了完全无关的积分表达式 \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{\sqrt{2\pi}\sigma}^{-1}e^{-\frac{(x - \mu_0)^2}{2\sigma^2}}\)，这与最大似然估计无关
2. 第二行出现了双重对数 \(\ln[\ln(\hat{\sigma}^2)]\)，这是错误的数学表达式
3. 第三行的求导对象 \(\frac{d\ln[\ln(\hat{\sigma}^2)]}{d\ln(\hat{\sigma}^2)}\) 没有意义

虽然最终结果正确，但推导过程基本错误，只能给部分分数。扣3分，得2.5分。

（2）得分及理由（满分5.5分）

学生第二问计算期望和方差：

• 期望计算：\(E(\hat{\sigma}^2) = \frac{1}{n}nE(X_i - \mu_0)^2\) 这一步正确，但后续写成了 \(\frac{\sigma^2}{n}[D(X_i - \mu_0)+E(X_i - \mu_0)^2]\) 这是错误的，应该直接得到 \(\sigma^2\)
• 方差计算：使用了 \(D(\hat{\sigma}^2) = E((\hat{\sigma}^2)^2) - E(\hat{\sigma}^2)^2\) 这个公式正确，但计算 \(E((\hat{\sigma}^2)^2)\) 时出现了严重错误，错误地认为 \(E\left(\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i - \mu_0}{\sigma}\right)^2\right)^2 = \left(\sum_{i=1}^{n}E\left(\left(\frac{X_i - \mu_0}{\sigma}\right)^2\right)\right)^2\)
• 最终方差结果 \(\frac{(n-1)\sigma^4}{n^2}\) 是错误的，正确答案应该是 \(\frac{2\sigma^4}{n}\)

由于期望和方差的计算都存在严重错误，扣4分，...