评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是-1，而标准答案是1。该题考查的是级数收敛域的确定，关键是要分析级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}e^{-n - x}$的收敛性关于$x$的条件。

使用比值判别法：令$u_n = \frac{n!}{n^{n}}e^{-n - x}$，则 $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}e^{-(n+1)-x} \cdot \frac{n^{n}}{n!}e^{n+x} = \frac{n+1}{(n+1)^{n+1}}n^{n}e^{-1} = \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}}e^{-1} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}e^{-1} \to e^{-1} \cdot e^{-1} = e^{-2} \quad (n\to\infty) $$ 因为$\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = e^{-2} < 1$，由比值判别法可知，该级数对任意实数$x$都收敛。但题目说收敛域是$(a, +\infty)$，这意味着级数在$x \le a$时发散，这与我们的计算矛盾。

实际上，这里需要更仔细的分析。原级数为$\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} e^{-n} \cdot e^{-x}$。令$a_n = \frac{n!}{n^n} e^{-n}$，由Stirling公式$n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$，得 $$ a_n \sim \frac{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}{n^n} e^{-n} = \frac{\sqrt{2\pi n}}{e^{2n}} \to 0 $$ 但比值判别法给出$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = e^{-2} < 1$，所以$\sum a_n$收敛。那么原级数就是收敛级数$\sum a_n$乘以$e^{-x}$，这对所有$x$都收敛。

然而题目说收敛域是$(a, +\infty)$，这提示我们可能原题有印刷错误，应该是$\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} e^{n - x}$或类似形式。如果是$\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} e^{n - x}$，那么令$b_n = \frac{n!}{n^n} e^{n - x} ...