评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生采用了极坐标变换的方法，思路正确，但在积分区域的确定和计算过程中存在多处错误：

• 错误1：积分区域D的直角坐标描述为 \(x\) 从 \(-2\) 到 \(0\)，\(y\) 从 \(x+2\) 到 \(\sqrt{4-x^2}\)，这与题目给出的区域 \(D = \{(x,y)| - 2 + y \leq x \leq \sqrt{4 - y^{2}},0 \leq y \leq 2\}\) 不一致。题目中是以 \(y\) 为外层变量，学生错误地以 \(x\) 为外层变量，导致积分区域理解错误。
• 错误2：在极坐标变换中，学生给出 \(r\) 的下限为 \(\frac{2}{\sin\theta - \cos\theta}\)，但根据区域边界 \(x = -2 + y\)（即 \(y = x + 2\)）和 \(x = \sqrt{4-y^2}\)（即圆 \(x^2+y^2=4\)），正确下限应为 \(\frac{2}{\sin\theta + \cos\theta}\)（考虑象限和边界方程）。学生使用的 \(\sin\theta - \cos\theta\) 不正确，导致后续计算全部错误。
• 错误3：在计算 \(r\) 积分时，被积函数化简为 \(r - 2r\sin\theta\cos\theta\)，但正确应为 \(1 - 2\sin\theta\cos\theta\) 乘以 \(r\)（因 \(\frac{(x-y)^2}{x^2+y^2} = 1 - \frac{2xy}{x^2+y^2}\)，极坐标下为 \(1 - 2\sin\theta\cos\theta\)，且面积元为 \(rdrd\theta\)）。学生错误地写为 \(r - 2r\sin\theta\cos\theta\)，导致积分表达式错误。
• 错误4：在计算定积分时，最终结果 \(\pi - 1\) 与标准答案 \(2\pi - 2\) 不符，且计算过程中涉及复杂积分（如 \(\int \frac{1}{1-\sin 2\theta}d\theta\)）未正确求解，进一步验证了整体错误。

尽管学生尝试了合理的极坐标方法，但由于积分区域理解错误和关键计算步骤错误，导致结果完全偏离。根据逻辑错误扣分原则...