评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生正确写出二次型矩阵为 \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}\)，与标准答案一致。得4分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生计算特征值正确（\(\lambda_1=14,\lambda_2=\lambda_3=0\)），但在特征向量计算和正交化过程中存在多处错误：
- \(\lambda=0\) 时特征向量 \(\xi_1=(-3,0,1)^T\) 和 \(\xi_2=(-2,1,0)^T\) 正确，但正交化过程错误（\(\xi_2'=(-2\sqrt{2},\sqrt{2},0)^T\) 不正确，且未单位化）。
- \(\lambda=14\) 时特征向量 \(\xi_3=(2,2,3)^T\) 错误（应为 \((1,2,3)^T\) 的倍数）。
- 正交矩阵 \(Q\) 的构造错误（列向量未单位化且顺序混乱）。
- 标准形 \(f=14y_3^2\) 形式正确但变量对应关系不明确。
根据错误严重程度，扣除4分，得2分。

（3）得分及理由（满分2分）

学生基于前问结果得出 \(y_3=0\) 时 \(f=0\)，但解的表达 \(X=-(2k_1+3k_2)X_1+k_1X_2+k_2X_3\) 含义不清且未正确写出解空间形式。扣除1分，得1分。

题目总分：4+2+1=7分