评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分4分）

学生正确利用相似矩阵行列式相等得到a=±1，并通过特征值验证排除了a=1，得到a=-1。思路和计算正确。但第一次识别结果中特征值计算有误（写为-1,0,2和-2,0,1），第二次识别结果中特征值正确（-2,0,1）。根据"两次识别只要有一次正确不扣分"原则，不扣分。得4分。

（Ⅱ）得分及理由（满分4分）

学生理解正交对角化思路，但执行存在多处错误：

1. 特征向量计算错误：第一次识别中特征值与特征向量对应关系混乱，第二次识别中P₁矩阵构造错误（第二行应为0而非1）
2. 正交化过程错误：特征向量本身正交但未正确单位化，P₁、P₂矩阵构造不规范
3. 最终Q矩阵计算正确，但推导过程存在逻辑跳跃

考虑到最终结果正确，但过程存在明显错误，扣2分。得2分。

（Ⅲ）得分及理由（满分4分）

学生思路正确：利用Q⁻¹AQ=B得到AB=(AQ)²，设P=AQ。但：

1. 表达式"AB = AQ⁻¹AQ"书写有误，应为AB = A(QB) = A(Q⁻¹AQ)
2. 最终给出的矩阵是P=AQ而非P²=AB

思路正确但结果错误，扣2分。得2分。

题目总分：4+2+2=8分