评分及理由 本题满分10分，分为两个主要部分：收敛域的求解（约4分）与和函数的求解（约6分）。 （1）收敛域部分得分及理由（满分约4分） 学生答案： 正确计算了比值极限 \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} \rig...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生正确证明了当 \(0 \leq t \leq 1\) 时 \(\ln(1+t) \leq t\)，从而得到 \([\ln(1+t)]^n \leq t^n\)，并利用 \(|\ln t| \geq 0\) 得到积分不等式。但在第一次识别结果中...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答中，对函数 \(f(x)=\int_{1}^{x^{2}}(x^{2}-t) e^{-t^{2}} ~d t\) 求导的结果完全错误。正确求导应利用含参变量积分的求导法则（莱布尼茨公式），得到 \(f'(x)=2x\int_{1}^{x^...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 本题满分10分。学生作答过程完整，逻辑清晰，与标准答案一致。 求齐次通解：正确写出特征方程 \(r^{2}-3r+2=0\)，解得特征根 \(r_1=1, r_2=2\)，并给出齐次通解 \(C_1 e^x + C_2 e^{2x}\)。此部分...

2 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答为“2”。首先需要验证题目给出的概率分布是否合法。概率分布为 \(P\{X=k\}=\frac{C}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)，其中 \(C\) 为归一化常数。由概率之和为1可得： \[ \sum_{k=0}^{\...

6 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答为“6”，与标准答案完全一致。 题目要求向量组 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 生成的向量空间维数为2，即向量组的秩为2。这意味着三个向量线性相关，且其中任意两个向量线性无关（由 \(\alpha_1\...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生两次识别结果均为 \(\frac{2}{3}\)，与标准答案完全一致。根据题目要求，只要有一次识别正确即不扣分。因此，本题得满分4分。 题目总分：4分

0 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答为“0”。标准答案也为0。该曲线积分计算正确。 具体分析：曲线 \(L\) 由 \(y=1-|x|\) 在 \([-1,1]\) 上给出，是一条以(0,1)为顶点的折线，包含从(-1,0)到(0,1)的线段 \(L_1\)（方程...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生两次识别结果均为“-4π”，与标准答案“-4π”完全一致。该积分的正确结果确实是 -4π。因此，本题作答正确，得4分。 题目总分：4分

0 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答为“0”。标准答案也是0。该题是求二阶导数在特定点的数值，学生给出了正确的数值结果。因此，本题得分为4分。 题目总分：4分

评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分5分） 学生作答中，第1次识别结果与第2次识别结果在（Ⅰ）部分的证明思路与标准答案一致，均正确使用了期望的性质和方差关系式，并得出 \(E(T) = \mu^2\) 的结论，从而证明了 \(T\) 是 \(\mu^2\) 的无偏估计量。证明过程完整且逻辑正...

评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分11分中的部分，通常第(Ⅰ)问分值较小，但题目未明确划分，根据常见分配，第(Ⅰ)问约3-4分，第(Ⅱ)问约7-8分。此处按第(Ⅰ)问满分4分，第(Ⅱ)问满分7分来评分） 学生作答中第(Ⅰ)问解答过程正确，思路清晰：先写出条件概率定义，利用X与Y独...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答中给出了两种识别结果，但核心思路与标准答案一致，均通过递推关系证明行列式。第一次识别结果中递推式写为 \( |A| = 2aD_{n-1} + a^2 D_{n-2} \) 有误（应为 \( D_n = 2aD_{n-1} - a^2 D...

评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分5分） 学生作答中，第1次识别结果在第一步出现了明显的逻辑错误：将题目中的矩阵 \(A = \alpha\alpha^T + \beta\beta^T\) 误写为 \(A = 2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T\)，这属于对题目...

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分） 学生作答包含两次识别结果，内容基本一致。整体思路正确：先对函数进行偶延拓，计算傅里叶余弦系数 \(a_0\) 和 \(a_n\)，写出余弦级数展开式，然后令 \(x=0\) 代入以求解目标级数之和。 具体步骤中： 计算 \(a_0\) 的过程和...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生作答中，第1次识别结果在最后一步写成了“lim f(ξ) = f(ξ)”，存在明显的逻辑错误（极限结果应为f(x)而非f(ξ)），但第2次识别结果完整且正确地写出了“lim f(ξ) = f(x)”，并得出正确结论。根据评分要求，只要有一次识...

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分） 学生正确理解了问题本质：曲线C上点到XOY面的距离为|z|，因此转化为求z²在约束条件下的最值问题。使用了拉格朗日乘数法，构造了正确的辅助函数，列出了正确的方程组，并正确解出了两组驻点(1,1,1)和(-5,-5,5)。最终正确判断了最短距离...

评分及理由 （1）得分及理由（满分9分） 学生作答提供了两次识别结果，核心思路是利用格林公式计算曲线积分。第一次识别结果在书写和符号使用上存在一些混乱（例如将dy误写为dx，积分路径符号不规范，以及一些计算步骤的表述不清晰），但第二次识别结果思路清晰、步骤完整、计算正确。 具体分析： 思...

评分及理由 （1）得分及理由（满分9分） 学生作答提供了两次识别结果，其中第二次识别结果是完整且正确的。该解答首先利用等价无穷小（\(\sin x \sim x\)）将原式化简为 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x^3}\)，然后...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生两次识别结果均为 \(\frac{1}{2e}\)，与标准答案 \(\frac{1}{2e}\) 完全一致。 计算过程：随机变量 \(X\) 服从参数为 1 的泊松分布，故 \(EX = 1\)，\(DX = 1\)，因此 \(EX^2 ...