评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分6分） 学生通过设实对称矩阵的未知元，利用给定矩阵方程建立方程组，解出矩阵 A 的大部分元素，并结合秩为 2 的条件得出 A。在特征值与特征向量部分，学生只求出了特征值 0 对应的特征向量 (0,1,0)^T，但未完整给出所有特征值与特征向量（缺少特征值...

评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分5分） 学生作答中，第1次识别与第2次识别在（Ⅰ）部分思路基本一致。学生通过将 \((\beta_1, \beta_2, \beta_3 | \alpha_2)\) 作初等行变换，得到 \(a-5=0\)，从而 \(a=5\)。这里逻辑上存在不严谨之处：...

评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分5.5分） 学生答案中容积计算思路正确，采用了旋转体体积的“圆盘法”或“柱壳法”的变体（对每个高度y的圆面积进行积分），并正确划分了积分区间和半径表达式。最终计算结果与标准答案一致，为 \(\frac{9}{4}\pi\)。虽然书写形式与标准答案略有不同...

评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分5分） 学生作答中，第一部分证明 \(\frac{1}{n+1} < \ln(1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n}\)。 1. 学生首先写出 \(\ln(1+\frac{1}{n}) = \ln(1+n) - \ln n\)，这一步正确但后续变形 \(\ln\frac{1}{n} - \ln\frac{1}{n+1}\) 有误（应为 \(\ln\frac{n+1}{n}\)），不过不影响后续证明思路。 2. 学生通过构造函数 \(f(x)=x-\ln(1+x)\) 来证明右边不等式 \(\ln(1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n}\)。求导 \(f'(x)=\frac{x}{x+1}\) 有误（正确应为 \(f'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}\)，但学生写成了 \(\frac{x}{x+1}\)，这可能是识别或笔误，且不影响符号判断，因为当 \(x>0\) 时 \(\frac{x}{x+1}>0\)，但严格来说 \(f'(x)=\frac{x}{1+x}\) 与 \(\frac{x}{x+1}\) 相同，这里不扣分）。学生说明当 \(...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答存在根本性逻辑错误。题目给出的条件是 \(\frac{d\alpha}{dx} = \frac{dy}{dx}\)，学生直接将其积分得到 \(\alpha = y + C\)，这是错误的。因为 \(\frac{d\alpha}{dx}\)...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答分为两次识别结果，但两次结果本质相同，均存在关键错误。具体分析如下： 第一步求一阶偏导数 \(\frac{\partial z}{\partial x}\) 和 \(\frac{\partial z}{\partial y}\) 时，第...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 本题要求求极值、凹凸区间和拐点，学生作答给出了两个识别结果。第一个识别结果中，一阶导数和二阶导数计算正确，极值点判断正确，但二阶导数值计算有误（应为 \(\frac{4t}{(t^2+1)^3}\)，代入 \(t=1\) 得 \(\frac{4...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 本题满分10分，学生作答得0分。 理由： 核心错误：学生将题目中的分母 \(x^{3a}\) 误写为 \(x^{\alpha}\)，这是一个根本性的错误，改变了题目的条件和结构。因此，后续基于 \(\alpha\) 的所有推导和分析，无论逻辑如...

0 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生答案为“0”。 首先，我们需要计算二次型的矩阵并确定其正惯性指数。二次型为： \( f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + 3x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2x_{1}x_{2} + 2x_{1...

7/12 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答为“7/12”，与标准答案“$\frac{7}{12}$”在数学上完全等价。该填空题考查二重积分的计算，学生给出了正确的数值结果，表明其计算过程和思路正确。根据打分要求，思路正确且答案正确应给予满分。因此，本题得4分。 题目总分：4分

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 本题考察连续型随机变量的数学期望计算。根据定义，对于概率密度函数为 \( f(x) \) 的随机变量 \( X \)，其数学期望 \( E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx \)。题目中给出的概率密度函...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生两次识别结果均为 \(\ln(\sqrt{2}+1)\)，与标准答案完全一致。根据题目要求，答案正确则给满分。因此，本题得4分。 题目总分：4分

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生两次识别结果均为 \(e^{-x}\sin x\)，与标准答案 \(e^{-x}\sin x\) 完全一致。该微分方程为一阶线性微分方程，其通解可通过常数变易法或积分因子法求得，再代入初始条件 \(y(0)=0\) 确定特解。学生的答案正确...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生两次识别结果均为 \(\sqrt{2}\)，与标准答案完全一致。该极限的计算过程通常涉及 \(1^\infty\) 型未定式，通过取对数或利用重要极限 \(\lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = e\) 进行求解...

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分） 学生通过计算 \(A^T A\) 的行列式并令其为零来求解 \(a\) 的值，思路正确。计算过程中，行列式展开和化简正确，得到 \(\vert A^T A\vert = (a+1)^2(a^2+3)\)，并正确得出 \(a = -1\)。尽管标...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生计算行列式的方法与标准答案不同，但结果正确。学生使用第一行展开，得到 |A| = 1 - a⁴，与标准答案一致。虽然展开过程写得不完整（只写了第二项，没有写第一项），但结果正确，因此不扣分。得4分。 （2）得分及理由（满分7分） 学生在第二...

评分及理由 （1）得分及理由（满分6分） 学生正确定义了函数 \(f(x)\) 并计算了导数 \(f'(x)\)，正确指出在区间 \([\frac{1}{2},1]\) 上 \(f'(x)>0\)，因此函数单调递增。正确计算了端点值 \(f(1)=n-1>0\) 和 \(f(\frac{...

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分） 学生作答中定义了正确的函数 \(f(x) = x \ln \frac{1+x}{1-x} + \cos x - 1 - \frac{x^2}{2}\)，并计算了一阶导数 \(f'(x) = \ln \frac{1+x}{1-x} + \frac...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生解答中，将题目给出的两个方程错误地改写为 \(f'(x) - 3f(x) = -2e^x\)，这与原题中的 \(f''(x) + f'(x) - 2f(x) = 0\) 和 \(f''(x) + f(x) = 2e^x\) 不符，属于逻辑错误...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答中给出了两种解法： 第一种解法（第1次识别结果）：从极坐标变换开始，正确写出积分表达式 \(\int_{0}^{\pi} d\theta \int_{0}^{1+\cos\theta} r^3 \sin\theta \c...